Решение неравенств
Метод интервалов
Перенос знаков
Выбор точек
Система и совокупность
Точка знакопостоянства
Что нельзя делать в неравенстве, даже под пытками:
1) Домножать на знаменатель.
2) Умножать/делить на отрицательное число, не меняя знак.
3) Убирать бездумно логарифм или основание.
Начнем с простого:
Линейные уравнения решаются обычным переносом. Икс в одной части оставим, а числа перенесем в другую:
А само значение −4 нам подходит?
Нет, поэтому ставим круглые скобочки ()
Ответ: x ∈ ( −4; +oo).
Разберемся со скобками:
Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки нестрогие (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».
Если же возьмем пример, где придется делить или умножать на отрицательное число, то знак поменяется:
Ответ: x ∈ ( 0; +oo).
Следующий пример уже с дробью:
Приравняем числитель к нулю и скажем, что знаменатель не равен нулю:
к.ч. (корни числителя)
к.з. (корни знаменателя)
Расставляем корни числителя и знаменателя на одной прямой (сколько решаем неравенств, столько же чертим прямых). Попробуем подставить х = 0, чтобы определить знаки:
Там, где «0» (перед двойкой), ставим знак «−», а дальше знаки чередуем:
Из-за того, что знаком неравенства был «≥», нам подходят промежутки со знаком «+» и закрашенная точка:
Когда мы включаем точку (корень числителя), или стоят знаки (≥, ≤), ставим «[ ]» — квадратные скобки. Если не включаем (корень знаменателя), или знак строгий (>, <), скобки круглые «( )».
Ответ: x ∈ (2; 7].
Данный пример можно решить по-другому. Подумаем, когда дробь больше нуля? Конечно, когда числитель и знаменатель — положительные значения или когда оба отрицательные. Поэтому данное неравенство можно разбить на две системы в совокупности:
Отметим на прямой решение каждого неравенства.
Решением системы «{» является тот участок, который подходит обоим неравенствам.
Решением совокупности «[» является тот участок, который включен хотя бы в одно неравенство.
Мой любимый пример:
Покажу мастер-класс, как делать не надо. Дома не повторять!
А теперь через метод интервалов разберемся, как сделать правильно:
Там, где ноль, ставим знак «−», рисуем прямую и отмечаем корни каждой скобки. А дальше чередуем:
В данном неравенстве знак меньше, поэтому записываем в ответ промежуток, где знак «−».
Ответ: x ∈ (−3; 3).
Перейдем к квадратному уравнению:
Разложим на множители и подставим x = 10, чтобы определить знак:
Нам требуются положительные значения:
Второй способ разложить на множители:
Ответ: x ∈ (−oo; −1) ∪ (5; +oo).
А теперь простой, но крайне показательный пример:
Убирать квадрат ни в коем случае нельзя. Простенький контрпример:
Надеюсь, убедил. Вместо знака больше поставим знак равно и попробуем решить методом интервалов:
Если корень повторяется четное количество раз, то в этой точке знак меняться не будет. Отмечать будем такую точку восклицательным знаком (а внутри него ±, чуть ниже объясню, зачем это).
Проверим это:
В данном неравенстве знак больше, тогда отметим те промежутки, где стоит знак «+».
Только точка «0» не подходит, 0 > 0 — неверно!
Ответ: x ∈ R \ {0} или x ∈ (−oo; 0) ∪ (0; +oo).
Переходим на новый уровень:
Все говорят, что домножать на знаменатель нельзя, а я говорю, что буду! (joke)
По методу координат найдем корни числителя и знаменателя:
Отметим все корни на одной прямой (сколько неравенств, столько же и прямых). Ноль — корень четной кратности, над ним рисуем восклицательный знак! Если это корень числителя, то точка будет закрашена, если знаменателя — выколота (на ноль делить нельзя).
Требуется найти промежутки, где выражение больше или равно нулю. Нам подойдут все «промежутки», где знак плюс. Для этого подставим значение x = 1 и с промежутка [0; 3] начнем расставлять знаки. Там же находится единица.
Вот для чего ставят в восклицательном знаке ±: чтобы не потерять отдельные точки, в данном случае 0.
Ответ: (−oo; − 6) ∪ {0} ∪ [ 3; +oo).
Дальше интереснее:
По той же схеме корни числителя и знаменателя:
Определим знак при x = 10 и расставим знаки с промежутка, где присутствует 10:
Все точки от − 2 закрашены, значит эти промежутки можно объединить в один.
Ответ: {−3} ∪ (−2; +oo).
Закрепляем последовательность:
Точка x = 3 встречается 3 раза (2 раза в числителе и 1 раз в знаменателе), знак через нее меняться будет! А также эта точка будет выколота, проверь это, подставив в уравнение x = 3. На ноль же делить нельзя?
Подставим x = 10 и расставим знаки:
Ответ: [ −oo; −5) ∪ [ 3; 5).
Все скользкие моменты разобрали, стало понятнее?
Резюме:
- Если знак строгий (>, <), все точки выколотые (в круглые скобки).
- Если знак нестрогий (≥, ≤), корни числителя закрашенные, точки знаменателя выколотые [в квадратные скобки].
- Если корень является решением уравнения четное кол-во раз (2, 4, 6, 8), то в этой точке знак меняться не будет.
- Отдельная точка записывается {в фигурных скобках}.
Нашел ошибку/опечатку — напиши.
Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.