Пошаговое построение графиков.
«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.
Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.
Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:
Для начала построим график прямой y = 2x − 1.
Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую.
Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1
Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:
А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.
Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.
Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).
Получается такая зеленая "галочка".
Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?
Одна строчка рассуждений и рисуем:
Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.
Здесь отражаем относительно оси «y». Такая же галочка, только теперь через другую ось.
Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.
Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть.
В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны!
А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:
Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.
Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.
Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.
А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.
При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:
А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!
Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.
При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!
Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.
А теперь сразу комбо:
Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.
Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет "шире", расходится в бока он быстрее остальных.
Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.
Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.
y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:
А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:
А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.
А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!
Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!
Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.
Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.
Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.
Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.
Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.
Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.
Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:
И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.
Например для прямой:
Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 
C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:
Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!
Выводы:
- Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
- Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
- Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
- Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:
- Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
- Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
- Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
- Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.