Илья Кузнецов
Репетитор по математике и физике
Назад к списку

Что такое производная?

Производная по-простому 

Где применяется

Немного о твоей будущей зарплате







Попробую объяснить несколько иначе, чем в школе.

Вы заканчиваете школу, поступаете в университет и начинаете подрабатывать:

В первый год после школы вы зарабатываете 0,5 у.е. (условных единиц). 

Вы хорошо учитесь, устраиваетесь по специальности или находите свое призвание, и ваши дела постепенно, но идут в гору!

Какой молодец! Заработок растет не по годам, а по часам! 

Если посмотреть на этот график внимательнее, то можно увидеть сходство с ветвью параболлы, которая в самом простом случае задается уравнением y = x². Если это понятно, то дальше все проще!

Интересно, а на сколько увеличивался заработок из года в год:

I год: 0,5 − 0 = 0,5 .

II год: 2 − 0,5 = 1,5.

III год: 4,5 − 2 = 2,5.

IV год: 8 − 4,5 = 3,5.

...

Получается, что наш доход каждый год возрастал равномерно. Вот что выйдет, если построить график:

Получается прямая!

То есть все наши старания каждый год были постоянными, достаточно было ежегодно улучшать свой доход на 1 у.е.

Нетрудно заметить, что график заработка задается уравнением y = 0,5x².

А график увеличения заработка залается прямой y = x − 0,5.

Кто знает толк в производных, скажет «Неверно!». Конечно, производная от 0,5x² не будет равна x − 0,5, и это мы обсудим ближе к концу статьи.

Изменение заработка для нескольких лет

Для того, чтобы посчитать скорость изменения заработка, нужно взять один из «треугольников» с графика, например первый, и разделить длину вертикального катета (Δy) (в данном случае это 12,5 − 8 = 4,5) на длину горизонтального (Δx) (тут он равен 1).

Получится 4,5 / 1 = 4,5.

Таким образом, разделив вертикальный катет на горизонтальный, мы получаем скорость изменения функции, что показывает второй график.

Но как же это все относится к производным?

А так, что производная показывает «скорость» изменения функции! 

Функция заработка предсталяет из себя график параболы (график функции) .

В тоже время функция увеличения заработка каждый год представляет прямую (график производной функции).

Однако прежде, чем ты расскажешь это своим друзьям, давай проверим, а если мы возьмем другой треугольник (в этот раз второй).

Вертикальный катет: 24,5 − 18 = 6,5.

Горизонтальный катет: 1.

Разделим: 6,5 / 1 = 6,5 — не сходится с первым треугольником!

А если объединить второй и третий треугольник?

Вертикальный катет: 40,5 − 18 = 22,5.

Горизонтальный катет: 9 − 6 = 3.

Разделим: 22,5 / 3 = 7,5 — опять не сходится!

Какая же тогда производная правильная?

Для того, чтобы верно найти производную, нужно взять как можно меньший горизонтальный катет - максимальное приближение (Δх)!

Сам график задается уравнением y = 0,5x².

Тогда возьмем x₁ = 4 => y₁ = 0,5 × 4² = 8, а при x₂ = 4,001 => y₂ = 0,5 × 4,001² ≈ 8,004.

Получается: Δy = 8,004 − 8 = 0,004,  Δх= 4,001 − 4 = 0,001.

Производная: Δy / Δх = 0,004 / 0,001 = 4.

И что же тогда производная?

Производная  это скорость изменения функции при самых маленьких значениях Δх (наименьших значениях горизонтального катета).

Именно поэтому производную и называют тангенсом (отношение противолежащего катета к прилежащему) угла наклона этой функции.

Если же мы посчитаем производную для каждой точки, получится такой график функции:

А это уже похоже на правду!

Производная от y = 0,5x² будет равна y = х (именно такой график получился у нас).

Погрешность в данном графике вызвана плохим приближением по оси х (в данном случае Δх = 1), из-за чего появляется неточность.

Конечно, можно не делать такое большое количество действий, проверяя точки.

Есть готовые формулы для базовых функций, пользуйтесь ими, если хотите облегчить себе жизнь.


Выводы:

  1. Производные встречаются почти во всех областях: от медицины до финансов, по сути дела производная, показывая скорость изменения функции, предсказывает дальнейшее поведение функции.
  2. Представьте матрешку, так же как в каждой матрешке внутри есть следующая, так и функция скрывает в себе производную. У каждой функции есть своя производная функции. Так же можно брать от производной функции еще одну производную и повторять действие до бесконечности. 
  3. Производная функции показывает скорость изменения самой функции. Так же, как у вас есть родители и предки (предыдущии поколения), которые вам передали какие-то отличительные особенности, так и у функции есть производная, которая передает ей скорость ее изменения.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.